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解析几何-第四版-课后答案解析几何-第四版-课后答案 -- 1 元

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编号: 475   大小: 0.63 MB   格式: pdf   上传时间: 2018-10-10 12:39
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答案 第四版 解析几何
文档简介:
第 1 章 矢量与坐标
§1.1 矢量的概念

1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形? (1)把空间中一切单位矢量归结到共同的始点; (2)把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点; (3)把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点; (4)把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]: (1)单位球面; (2)单位圆 (3)直线; (4)相距为 2 的两点 A 2. 设点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心, 在矢量 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 、

F

OF 、 AB 、 BC 、 CD 、

DE 、 EF

和 FA 中,哪些矢量是相等的? [解]:如图 1-1,在正六边形 ABCDEF 中, 相等的矢量对是:

B E C

O

D
E

图 1-1

OA和EF; 和FA; 和 AB; 和CD; 和DE. OB OC OE OF
BB、D 3. 设在平面上给了一个四边形 ABCD,点 K、L、M、N 分别是边A 、 C C 、 D A的中点,求证: KL = NM . 当 ABCD 是空间四边形时,这等式是否也成立?
[证明]: 如图 1-2, 连结 AC, 则在ΔBAC 中, 中,NM KL

1 AC. KL 与 AC 方向相同; 在ΔDAC 2

1 AC. NM 与 AC 方向相同,从而 2

KL=NM 且 KL 与 NM 方向相同,所以 KL =

NM .
4. 如图 1-3,设 ABCD-EFGH 是一个平行六面 体,在下列各对矢量中,找出相等的矢量和互 为相反矢量的矢量: (1) AB 、 CD ; (2)

AE 、 CG ;

(3) AC 、 EG ; (4) AD 、 GF ; (5) BE 、 CH . 图 1—3 [解]:相等的矢量对是 (2)(3)和(5) 、 ; 互为反矢量的矢量对是(1)和(4) 。

§1.3

数量乘矢量

1.要使下列各式成立,矢量 a, b 应满足什么条件? (1) a + b = a − b ; (3) a + b = a − b ; (5) a − b = a − b . [解]: (1) a, b 所在的直线垂直时有 a + b = a − b ; (2) a, b 同向时有 a + b = a + b ; (3) a ≥ b , 且 a, b 反向时有 a + b = a − b ; (4) a, b 反向时有 a − b = a + b ; (5) a, b 同向,且 a ≥ b 时有 a − b = a − b . 2. 设 L、 N 分别是ΔABC 的三边 BC、 M、 CA、 的中点, AB 证明: 三中线矢量 AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. [证明]: (2) a + b = a + b ; (4) a − b = a + b ;

1 ∵ AL = ( AB + AC ) 2 1 BM = ( BA + BC ) 2 1 CN = (CA + CB) 2 1 ∴ AL + BM + CN = ( AB + AC + BA + BC + CA + CB ) = 0 2 从而三中线矢量 AL, BM , CN 构成一个三角形。
OA + OB + OC = OL + OM + ON .

3. 设 L、M、N 是△ABC 的三边的中点,O 是任意一点,证明 [证明] ∵ OA = OL + LA

OB = OM + MB OC = ON + NC ∴ OA + OB + OC = OL + OM + ON + (LA + MB + NC )
= OL + OM + ON − ( AL + BM + CN ) 由上题结论知: AL + BM + CN = 0

∴ OA + OB + OC = OL + OM + ON
4. 用矢量法证明,平行四边行的对角线互相平分. [证明]:如图 1-4,在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线 AC,BD 的交点

∵ AD = OD − OA BC = OC − OB
但

AD = BC ∴ OD − OA = OC − OB OA + OC = OD + OB
图 1-4

由于 (OA + OC ) ∥ AC , (OB + OD) ∥ BD, 而 AC 不平行于 BD ,

∴ OA + OC = OD + OB = 0 ,
从而 OA=OC,OB=OD。 5. 如图 1-5,设 M 是平行四边形 ABCD 的中心,O 是任意一点,证明

OA + OB + OC + OD =4 OM .
[证明]:因为 OM =

1 ( OA + OC ), OM = 2 1 ( OB + OD ), 2
所以 2 OM =

1 ( OA + OB + OC + OD ) 2
所以

OA + OB + OC + OD =4 OM . 6. 设点 O 是平面上正多边形 A1A2…An 的中心,证明:
OA1 + OA2 +…+ OAn = 0 .
[证明]:因为

图 1-5

OA1 + OA3 =λ OA2 ,
OA2 + OA4 =λ OA3 , …… OAn−1 + OA1 =λ OAn ,

OAn + OA2 =λ OA1 ,
所以 2( OA1 + OA2 +…+ OAn ) =λ( OA1 + OA2 +…+ OAn ), 所以 显然 所以 (λ-2)( OA1 + OA2 +…+ OAn )= 0 . λ≠2, 即 λ-2≠0.

OA1 + OA2 +…+ OAn = 0 .
§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解

1. 设一直线上三点 A, B, P 满足 AP =λ PB (λ≠-1),O 是空间任意一点,求证:

OA + λ OB 1+ λ [证明]:如图 1-7,因为

OP =

AP = OP - OA , PB = OB - OP ,
所以

OP - OA =λ ( OB - OP ),
(1+λ) OP = OA +λ OB ,
图 1-7

从而

OP =

OA + λOB . 1+ λ

2. 在△ABC 中,设 AB = e1 , AC = e2 ,AT 是角 A 的平 分线(它与 BC 交于 T 点) ,试将 AT 分解为 e1 , e2 的线性 组合. [解]:因为 且

| BT | | e1 | = , | TC | | e1 |

BT 与 TC 方向相同, |e | 所以 BT = 1 TC . | e2 |
由上题结论有

图 1-8

| e1 | e2 | e | e + | e1 | e2 | e2 | AT = =21 . | e1 | | e1 | + | e2 | 1+ | e2 | 3. 用矢量法证明:P 是 △ABC 重心的 充要条件是 e1 +
PA + PB + PC = 0 . [证明]: ⇒ ” 若 P 为△ABC 的重心,则 “

CP =2 PE = PA + PB ,
从而 即

PA + PB - CP = 0 , PA + PB + PC = 0 .

图 1-9

“ ⇐ ” 若 PA + PB + PC = 0 , 则 PA + PB =- PC = CP , 取 E,F,G 分别为 AB,BC,CA 之中点,则有

PE =
从而

1 ( PA + PB ). 2

CP =2 PE .
BP =2 PG , AP =2 PF .故 P 为△ABC 的重心. b =4 e1 -6 e2 +2 e3 , c =-3 e1 +12 e2 +11 e3 共面,

同理可证

4. 证明三个矢量 a =- e1 +3 e2 +2 e3 ,

其中 a 能否用 b , c 线性表示?如能表示,写出线性表示关系式. [证明]:由于矢量 e1 , e2 , e3 不共面,即它们线性无关. 考虑表达式

λ a +μ b +v c = 0 ,即

λ (- e1 +3 e2 +2 e3 )+μ (4 e1 -6 e2 +2 e3 )+v (-3 e1 +12 e2 +11 e3 )= 0 , 或 (-λ+4μ-3v) e1 +(3λ-6μ+12v) e2 +(2λ+2μ+11v) e3 = 0 . 由于 e1 , e2 , e3 线性无关,故有

⎧ − λ + 4 μ − 3v = 0, ⎪ 12 ⎨ 3λ-6 μ+ v = 0, ⎪2λ + 2 μ + 11v = 0. ⎩
λ=-10,μ=-1,v=2. 由于 λ=-10≠0,所以 a 能用 b , c 线性表示
解得


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