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量子力学课后习题答案量子力学课后习题答案 -- 1 元

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编号: 419   大小: 2.97 MB   格式: doc   上传时间: 2018-04-04 10:37
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答案 习题 课后 量子力学
文档简介:
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础

1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长  m 与温 度 T 成反比,即
m

T=b(常量) ;

并近似计算 b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式
 vdv 
8  hv c
3 3

 e

1
hv kT

dv 1

,

(1) (2) (3)

以及

v  c ,
 v dv    v d 

,

有
  
dv d c d    d

   v ( )  

 v ( ) 
8  hc

c 1
hc



5

 e

, 1

 kT

这里的   的物理意义是黑体内波长介于λ 与λ +dλ 之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ 取何值时,   取得极大值,因此,就得要求   对λ 的一 阶导数为零, 由此可求得相应的λ 的值, 记作  m 。 但要注意的是, 还需要验证   对λ 的二阶导数在  m 处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的  m 就 是要求的,具体如下:
 hc 1  5  hc    kT   kT 1 1 e   0   

 
'

8  hc



6

 e

1
hc

 kT

1



5 

hc

 kT



1 1 e
 hc

0

 kT


hc

5 (1  e



hc

 kT

)

hc

 kT

如果令 x=

 kT

,则上述方程为
5 (1  e
x

) x

这是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的; 另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4.97,经过验证,此 解正是所要求的,这样则有
mT 
hc xk

把 x 以及三个物理常量代入到上式便知
 m T  2 . 9  10
3

m K

这便是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰 值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定 温度的高低。 1.2 在 0K 附近,钠的价电子能量约为 3eV,求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知 E=hv,
P h


  e c
2
2

如果所考虑的粒子是非相对论性的电子( E 动
E p

) ,那么

2 e

如果我们考察的是相对性的光子,那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为 3eV, 远远小于电子的质量与光速平 方的乘积, 0 . 51  10 6 eV , 即 因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式, 这样,便有

h p

2



h 2eE hc 2  ec E
2





1 . 24  10

6

m
6

2  0 . 51  10  0 . 71  10  0 . 71 nm
9

3

m

在这里,利用了
hc  1 . 24  10
6

eV  m

以及
 ec
2

 0 . 51  10

6

eV

最后,对

hc 2 ec E
2

作一点讨论,从上式可以看出,当粒子的质量越大时,这个粒子的波长就越短, 因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强;同样的,当粒子的动能越大时,这 个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强,由于宏观世 界的物体质量普遍很大,因而波动性极弱,显现出来的都是粒子性,这种波粒二 象性,从某种子意义来说,只有在微观世界才能显现。 1.3 氦原子的动能是 E 布罗意波长。 解 根据
1 k  K  10
3



3 2

kT

(k 为玻耳兹曼常数) ,求 T=1K 时,氦原子的德

eV

,

知本题的氦原子的动能为
E 3 2 kT  3 2 k  K  1 . 5  10
3

eV ,

显然远远小于  核 c 2 这样,便有

hc 2核c E
2

3



1 . 24  10 2  3 . 7  10
9

6 3

m

 1 . 5  10

 0 . 37  10  0 . 37 nm

9

m

这里,利用了
核c
2

 4  931  10

6

eV  3 . 7  10

9

eV

最后, 再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论,由某种粒子构成的温度 为 T 的体系,其中粒子的平均动能的数量级为 kT,这样,其相庆的德布罗意波 长就为

hc 2c E
2



hc 2  kc T
2

据此可知,当体系的温度越低,相应的德布罗意波长就越长,这时这种粒子的波 动性就越明显, 特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时,粒子间的相干性 就尤为明显, 因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布,而必须 用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。 1.4 利用玻尔——索末菲的量子化条件,求: (1)一维谐振子的能量; (2)在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 已知外磁场 H=10T,玻尔磁子 M
B

 9  10

 24

J T

1

,试计算运能的量子化间

隔△E,并与 T=4K 及 T=100K 的热运动能量相比较。 解 玻尔——索末菲的量子化条件为



pdq  nh

其中 q 是微观粒子的一个广义坐标,p 是与之相对应的广义动量,回路积分是沿 运动轨道积一圈,n 是正整数。 (1)设一维谐振子的劲度常数为 k,谐振子质量为μ ,于是有
E p
2

2



1 2

kx

2

这样,便有
p 2 (E  1 2 kx )
2

这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动, 一正一负正好 表示一个来回,运动了一圈。此外,根据
E 1 2 kx
2

可解出

x  

2E k

4


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