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《微积分》各章习题及详细答案《微积分》各章习题及详细答案 -- 0 元

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答案 习题 微积分 各章 详细
文档简介:
《微积分》各章习题及解答

第一章
一、填空题 1、已知 f (sin 2、 lim
x 2
(4  3 x)
2 2

函数极限与连续
。

)  1  cos x ,则 f (cos x ) 


x 

x (1  x )

。 阶无穷小。 。

3、 x  0 时, tan x  sin x 是 x 的 4、 lim x sin
k x 0

1 x

 0 成立的 k 为

5、 lim e arctan x 
x x  

。
x0 x0

6、 f ( x )   7、 lim

 e  1,
x

 x  b,


在 x  0 处连续,则 b  。

。

ln( 3 x  1 ) 6x

x 0

8、设 f ( x ) 的定义域是 [ 0 ,1 ] ,则 f (ln x ) 的定义域是__________。 9、函数 y  1  ln( x  2 ) 的反函数为_________。 10、设 a 是非零常数,则 lim (
x 

xa xa
1 2

)

x

 ________

。 。

11、已知当 x  0 时, (1  ax ) 3  1 与 cos x  1 是等价无穷小,则常数 a  ________ 12、函数 f ( x )  arcsin 13、 lim ( x  2 
2 x 

3x 1 x
2

的定义域是__________。

x  2 )  ____________ 。

14、设 lim (
x 
n  

x  2a xa

)  8 ,则 a  ________。
x

15、 lim ( n 

n  1 )(

n2

n ) =____________。

二、选择题 1、设 f ( x ), g ( x ) 是 [  l , l ] 上的偶函数, h ( x ) 是 [  l , l ] 上的奇函数,则
1 x 1 x

中所给的函数必为奇函数。

(A) f ( x )  g ( x ) ; (B) f ( x )  h ( x ) ; (C) f ( x )[ g ( x )  h ( x )] ; (D) f ( x ) g ( x ) h ( x ) 。 2、  ( x )  , (x)  1 
3

x

,则当 x  1 时有

。

(A) 是比  高阶的无穷小; (C) 与  是同阶无穷小; 3、函数 f ( x )   3 1  x  1
  k
3 2
n 

(B) 是比  低阶的无穷小; (D)  ~  。 在 x  0 处连续,则 k  。

 

1 x 1

,

x  0 ( x   1) x0

(A)

;

(B)

2 3

;

(C)1 ;

(D) 0 。 。

4、数列极限 lim n [ln( n  1 )  ln n ]  (A)1 ; (B)  1 ;
x0 x0 x0

(C)  ;

(D)不存在但非  。

sin x  x  x  5、 f ( x )   0  1  x cos x 

,则 x  0 是 f ( x ) 的

。

第1页

《微积分》各章习题及解答

(A)连续点; (B)可去间断点; (C)跳跃间断点; (D)振荡间断点。 6、以下各项中 f ( x ) 和 g ( x ) 相同的是( ) (A) f ( x )  lg x , g ( x )  2 lg x ;
2

(B) f ( x )  x , g ( x ) 

x
2

2

;
x  tan
2

(C) f ( x )  7、 lim
sin x |x|
x 0

3

x

4

x

3

, g (x)  x3 x  1 ; (D) f ( x )  1 , g ( x )  sec ) -1; )
1

x。

=

( (B)

(A) 1;
1 x 0

(C)

0;

(D) 不存在。

8、 lim (1  x ) x  (

(A) 1; (B) -1; (C) e ; (D) e 。 9、 f ( x ) 在 x 0 的某一去心邻域内有界是 lim f ( x ) 存在的( )
x  x0

(A)充分必要条件; (B) 充分条件; (C)必要条件; (D)既不充分也不必要条件. 10、 lim x ( x  1  x )  (
2 x 

) (C)
1 2

(A) 1;

(B) 2;

;

(D) 0。 )
n  n 

11、设 { a n }, { b n }, { c n } 均为非负数列,且 lim a n  0 , lim b n  1, lim c n   ,则必有(
n 

(A) a n  b n 对任意 n 成立; (B) b n  c n 对任意 n 成立; (C)极限 lim a n c n 不存在 ; (D)极限 lim b n c n 不存在。
n  n 

12、当 x  1 时,函数 (A)等于2; 三、计算解答 1、计算下列极限 (1) lim 2 sin
n n 

x

2

1

1

x 1

e

x 1

的极限(

) (D)不存在但不为  。

(B)等于0; (C)为  ;

x 2
n 1

;

(2) lim

csc x  cot x x
3x

; ;
cos x

x 0

1

(3) lim x ( e x  1 ) ;
x 

(4) lim  ;
1

 2x 1  x   2x 1

(5) lim
x

8 cos
3

2 2

x  2 cos x  1 x  cos x  1



(6) lim

1  x sin x  x tan x
3

;

2 cos

x 0

(7) lim  
n 



1

1 2



1 23

 

 ln( 1   ; (8) lim  x 2 n ( n  1)  arctan
2

2  x) 4x
2

。

3

 x 1  1  ax  b   3、试确定 a , b 之值,使 lim  。  x    x  1 2  

4、利用极限存在准则求极限
1 1 2 1  1 3 1 2    1 3 1 n    1 n 1 。 1 n

(1) lim

n 

(2)设 x 1  a  0 ,且 x n 1  5、讨论函数 f ( x )  lim
n n
x x

ax n ( n  1, 2 ,  ) ,证明 lim x n 存在,并求此极限值。
n 
x x

n n

的连续性,若有间断点,指出其类型。

n 

6、设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续,且 a  f ( x )  b ,证明在 ( a , b ) 内至少有一点 ,使 f (  )   。
第2页

《微积分》各章习题及解答

第一单元
一、填空题 1、 2 sin
2

函数极限与连续习题解答
2

x。
2

f (sin

x 2

)  1  (1  2 sin

x 2
2

)  2  2 sin
x  2 sin
2

2

x 2

,

 f (x)  2  2 x

 f (cos x )  2  2 cos

x。

2、 0 。 3、高阶 。 4、 k  0 。
 sin 1 x

lim

(4  3 x)
2

2

x 

x (1  x )

 lim

9x

2

 24 x  16 x x
3

x 

 0。

 lim

tan x  sin x x

x 0

 lim

tan x (1  cos x ) x

x 0

 lim (1  cos x )  0 ,
x 0

 tan x  sin x 是 x 的高阶无穷小。
1 x
( lim e
x   x

为有界函数,所以要使 lim x sin
k x 0

 0 ,只要 lim x
x 0

k

 0 ,即 k  0 。

5、 0 。 6、 b  2 。

x  

lim e arctan x  0
x

 0 , arctan x  ( 


2

,


2
x

)) 。

 lim
x 0



f ( x )  lim ( x  b )  b ,  lim  f ( x )  lim  ( e
x 0


 1)  2 ,

x 0

x 0

f (0 )  b ,  b  2 。

7、

1 2

 lim

ln( 3 x  1 ) 6x

x 0

 lim

3x 6x

x 0



1 2

。

8、 1  x  e 9、 y  e
x 1

根据题意 要求 0  ln x  1 ,所以 1  x  e 。
 y  1  ln( x  2 ),  ( y  1 )  ln( x  2 ) , x  2  e xe
y 1 y 1

2

,

 2 , y  1  ln( x  2 ) 的反函数为 y  e
2a xa
1
xa  x xa 2 a

x 1

2。

10、 e

2a

原式= lim (1 
x 

)

2a

e

2a

。
a

11、 a  

3 2

由 (1  ax ) 3  1 ~
2

1 3

ax (利用教材 P58 (1  x )  1  a x )与 cos x  1 ~ 
2

1 2

x ,以
2

1

1  lim 3 
x 0

及 lim

(1  ax ) 3  1
2

ax 1 2

2

x 0

cos x  1
3 2

 x
2

2 3

a  1,

可得 12、 
1 4 x 1 2

a

。

由反三角函数的定义域要求可得

3x 1  1 1 1  1   1 x x 解不等式组可得  4 。  1 x 2 ,  f ( x ) 的定义域为  4 2   1 x  0 x  1  

13、 0

x 

lim

x 2
2

x  2  lim
2

(

x 2
2

x  2 )(
2

x 2
2

x  2)
2

x 

x 2
2

x 2
2

 lim

x  2  ( x  2)
2 2

x 

0。
3a xa xa 3a

x 2
2

x 2
2

14、 ln 2

lim (
x 

x  2a xa
x 

)  lim (1 
x x  x

) ,令 t=

x

,所以 x= 3a t  a

即: lim (

x  2a xa

)

1 t 3a 1a 3a  lim [(1  ) ]   ) = e  8 (1 t  t t
第3页

《微积分》各章习题及解答

3 a  ln 8  a 

1 3

ln 8 

ln 2 3

3

 ln 2 。

15、2

n  

lim (

n

n  1 )(
1 n

n2

n )  lim

( (

n

n  1)  2 n)

n  

n2

2 (1   lim
n  

1 2 n

) 2。

1

1

二、选择题 1、选(D) 令 F ( x )  f ( x ) g ( x ) h ( x ) ,由 f ( x ), g ( x ) 是 [  l , l ] 上的偶函数, h ( x ) 是 [  l , l ] 上的奇函数,
 F ( x)  f ( x) g ( x)h( x)   f ( x) g ( x)h( x)   F ( x) 。

2、选(C)  lim
 lim

 (x)  (x)

x1

 lim

1 x (1  x )( 1 
3

x1

 lim x)

1 x (1  x )[ 1 
a

x1

3

1  (1  x ) ]

1 x (1  x )  1 3 (1  x )

x1



3 2

(利用教材 P58 (1  x )  1  a x )

1

3、选(A)  lim f ( x )  lim
x 0

1 x 1

x  x
1 n )

x 0 3

 lim 2 x 0 1 1 x 1 3

3 2

(利用教材 P58 (1  x )  1  a x )
a

4、选(B) 5、选(C)

lim n [ ln ( n  1)  ln n ]  lim  ln (1 
n  n 

n

 1

f (0 )  1 ,



f (0 )  0
2



, f (0)  0

6、 (C) 在 选 (A)  f ( x )  ln x 的定义域为 x  0 , g ( x )  2 ln x 的定义域为 x  0 , f ( x )  g ( x ) 中 而  故不正确 在(B) f ( x )  x 的值域为 (  ,  ) , g ( x )  在(D)中 f ( x )  1 的定义域为 R, g ( x )  sec
{ x  R , x  k 
2

x

2

的值域为 x  0 ,故错

x  tan x 的定义域为


2

}

, f ( x )  g ( x ) ,故错
sin x  lim
x 0

7、选(D)
 lim sin x |x|

 lim
x 0

sin x




|x|

x

 1 , lim 
x 0

sin x |x|

  lim
x 0

sin x


 1

x

不存在
1 1

x 0

8、选(D)

 lim (1  x )
x 0

x

 lim [1  (  x )]
x 0

x

(  1 )

e

1

,

9、选(C) 由函数极限的局部有界性定理知, lim f ( x ) 存在,则必有 x 0 的某一去心邻域使 f ( x ) 有界,
x  x0

而 f ( x ) 在 x 0 的某一去心邻域有界不一定有 lim f ( x ) 存在,例如 lim sin
x  x0
x 0

1 x

,函数  1  sin

1 x

 1 有界,

但在 x  0 点极限不存在 10、选(C) ( lim x ( x  1  x )  lim x
2 x  x 

(

x  1  x )(
2 2

x  1  x)
2

 lim

x x 1 x
2

x 1 x

x 

 lim

1 1 1 x
2

x 

 1

1 2

第4页


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