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《热力学与统计物理》第四版(汪志诚)课后题答案《热力学与统计物理》第四版(汪志诚)课后题答案 -- 1 元

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编号: 361   大小: 2.86 MB   格式: pdf   上传时间: 2018-03-22 21:19
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第四 课后题答案
文档简介:
第一章 热力学的基本规律

1.1 试求理想气体的体胀系数



,压强系数



和等温压缩系数



。

解:已知理想气体的物态方程为

pV  nRT ,
由此易得

(1)



1  V  nR 1 ,   V  T  p pV T

(2)



1  p  nR 1 ,   p  T V pV T

(3)

T  

1  V   1   nRT  1         . V  p T  V   p 2  p

(4)

1.2 证明任何一种具有两个独立参量 系数

T, p

的物质,其物态方程可由实验测得的体胀系数



及等温压缩



,根据下述积分求得:

lnV =   αdT  κT dp 


如果 解:以

1 1 , T  T p

,试求物态方程。

T, p

为自变量,物质的物态方程为

V  V T , p  ,

其全微分为

 V   V  dV    dp.  dT    T  p  p T
全式除以

(1)

V

,有

dV 1  V  1  V    dp.  dT   V V  T  p V  p T
根据体胀系数



和等温压缩系数

T

的定义,可将上式改写为

dV   dT   T dp. V
上式是以

(2)

T, p

为自变量的完整微分,沿一任意的积分路线积分,有

lnV    dT   T dp  .

(3)


若

1 1 , T  T p

,式(3)可表为

1 1 lnV    dT  dp  . p T
选择图示的积分路线,从

(4)

(T0 , p0 )

积分到

T ,

p0 

,再积分到(

T, p

),相应地体

积由

V0

最终变到

V

,有

ln
即

V T p =ln  ln , V0 T0 p0

pV p0V0  C T T0
或

(常量),

pV  CT .

(5)


式(5)就是由所给 1.3 在

1 1 , T  T p

求得的物态方程。 确定常量C需要进一步的实验数据。

0C



和1
5

pn
1

下,测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为 可近似看作常量,今使铜块加热至

  4.85 10 K 和 T  7.8 107 pn 1.  和 T
10 C


。问:

(a)压强要增加多少

pn

才能使铜块的体积维持不变?(b)若压强增加100

pn

,铜块的体积改变多少?

解:(a)根据1.2题式(2),有

dV   dT   T dp. V
上式给出,在邻近的两个平衡态,系统的体积差 体积不变,

(1)

dV

,温度差

dT

和压强差

dp

之间的关系。如果系统的

dp

与

dT

的关系为

dp 

 dT . T

在



和

T

(2)

可以看作常量的情形下,将式(2)积分可得

p2  p1 

 T  T  . T 2 1

(3)

将式(2)积分得到式(3)首先意味着,经准静态等容过程后,系统在初态和终态的压强差和温度差满足式 (3)。 但是应当强调,只要初态

V ,

T1 

和终态

V ,

T2 

是平衡态,两态间的压强差和温度差就满足

式(3)。 这是因为,平衡状态的状态参量给定后,状态函数就具有确定值,与系统到达该状态的历史无关。 本 题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。 在加热过程中,铜块各处的温度可以不等,铜块与热源可 以存在温差等等,但是只要铜块的初态和终态是平衡态,两态的压强和温度差就满足式(3)。 将所给数据代入,可得

p2  p1 
因此,将铜块由

0 C

加热到

10 C

,要使铜块体积保持不变,压强要增强

4.85 105  10  622 pn . 7.8 107 622 pn

(b)1.2题式(4)可改写为

V   T2  T1    T  p2  p1  . V1
将所给数据代入,有

(4)

V  4.85 105 10  7.8 107 100 V1  4.07 104.
因此,将铜块由

0 C
倍。

加热至

10 C

,压强由

1 pn

增加

100 pn

,铜块体积将增加原体积的

4.07 10

4

1.4 简单固体和液体的体胀系数



和等温压缩系数

T

数值都很小,在一定温度范围内可以把



和

T

看作常量. 试证明简单固体和液体的物态方程可近似为

V (T , p )  V0 T0 , 0  1   T  T0    T p  .  
V  V T , p  .

解: 以

T, p

为状态参量,物质的物态方程为

根据习题1.2式(2),有

dV   dT   T dp. V
将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分,在



和

T

(1)

可以看作常量的情形下,有

ln
或

V   T  T0    T  p  p0  , V0
 T T0   T  p  p0 

(2)

V T , p   V T0 , p0  e
考虑到

.
(3)



和

T

的数值很小,将指数函数展开,准确到



和

T

的线性项,有

V T , p   V T0 , p0  1   T  T0    T  p  p0   .  
如果取

(4)

p0  0

,即有

V T , p   V T0 , 0  1   T  T0    T p  .  

(5)

1.5 描述金属丝的几何参量是长度

L

,力学参量是张力J,物态方程是

f  J , L, T   0

实验通常在1

pn

下进行,其体积变化可以忽略。

线胀系数定义为


等温杨氏模量定义为

1  L    L  T  J L  J   A  L T

Y
其中

A

是金属丝的截面积,一般来说,



和

Y

是T的函数,对J仅有微弱的依赖关系,如果温度变化范

围不大,可以看作常量,假设金属丝两端固定。试证明,当温度由

1

J  YA T2  T1 

降至

2

时,其张力的增加为

解:由物态方程

f  J , L, T   0

(1)

知偏导数间存在以下关系:

 L   T   J        1.  T  J  J  L  L T
所以,有

(2)


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